4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)_图文
4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区
复习回顾 ＊ 定积分： ? f ( x )dx ? A a b ＊ 定积分的性质： 性质1 性质2 性质3 性质4 ? 1dx ? b ? a ? kf ( x )dx ? k ? f ( x)dx ? ? f ( x) ? g ( x)?dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx b c b ?a f ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?c f ( x)dx a b b a b a b b b a a a 引入 通过学习发现，虽然被积函数 y ? x 2 很简单，但 直接用定积分定义计算 对于定积分 1 ? 2 1 么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？ 0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x ? x dx 的值却比较麻烦，而 2 前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的 概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联 系？能否用这种联系来求定积分的值？ 引例 若物体走过的路程 s 是时间 t 的函数s=s (t)，则 t=a 到 t=b ，物体走过的路程为s (b) – s (a)。 若将t ∈[a , b]平均分割成 n 个小时间段，插入 n-1 个点，即 a ? t0 ? t1 ? t2 ? ? ? tn ? b 时间段 [t0 , t1 ]内，物体走过路程 s(t1 ) ? s(t0 ) 时间段 [t1 , t 2 ]内，物体走过路程 s(t2 ) ? s(t1 ) …… 时间段 [t n ?1 , t n ]内，物体走过路程 s(tn ) ? s(tn?1 ) 则 s( b ) ? s( a ) ? [s(t1 ) ? s(t0 )] ? [ s(t2 ) ? s(t1 )] ? ? ? [ s(tn ) ? s(t n?1 )] ? s ( t n ) ? s(t 0 ) s s ?si o … o t0 ? a t1 t 2 t i ?1 t i t i ?1 ti t ?si ? s(ti ) ? s(ti ?1 ) ? v(ti ?1 )?ti … t t n ?1 tn ? b 在[ti ?1 , ti ]内，用 ti ?1 时刻的瞬时速度 v(ti ?1 ) 代替 平均速度，则有 ?si ? s(ti ) ? s(ti ?1 ) ? v(ti ?1 )?ti 所以 s(b) ? s( a) ? v(t0 )?t1 ? v(t1 )?t2 ? ? ? v(t n?1 )?tn 当 ?ti ? 0 (i ? 0,1,?, n) 时， v(t0 )?t1 ? v(t1 )?t2 ? ? ? v(tn ?1 )?tn→ s(b) ? s( a ) 积分表示为 s(b) ? s( a ) ? b v(t )dt ? a ∵ v(t ) ? s?(t ) ∴ s(b) ? s(a ) ? s?(t )dt ? a b 积分与导数的联系 微积分基本定理： F (x)是f (x) 的一个原函数 若连续函数f (x)是函数F (x)的导函数，即 f ( x ) ? F ?( x ) ，则有 ? b a f ( x )dx ?F (b ) ? F ( a ) 牛顿-莱布尼茨公式 原函数的端点 函数值之差 牛顿-莱布尼茨公式也可写作： ? b a f ( x )dx ? F ( x ) ? F (b) ? F ( a ) b a 所以求定积分就是要寻找被积函数的原函数。 例1 计算下列定积分： （1） 2 xdx 0 ? 1 （2） x 2 dx 0 ? 1 （3）? cos xdx 2 ? 0 （ 4） ? 2 1 e dx x 解析 例2 求定积分： ? 1 0 x dx 解析 例3 求定积分 ? ? 0 cos xdx ，并解释其意义。 解析 例4 求定积分：? (e x ? 3 x )dx 1 2 解析 总结概括 计算定积分的关键是什么？ 微积分基本定理表明，计算定积分 ? b a f ( x )dx 的关键是找到满足 f ( x ) ? F ?( x ) 的函数 F (x) ，通常 我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F (x)。 巩固练习 小结 ＊ 微积分基本定理： 即牛顿-莱布尼茨公式 f ( x ) ? F ?( x ) ? b a f ( x )dx ? F ( x ) b a ? F (b) ? F ( a ) 它将求定积分问题转化为求原函数的问题。 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之 间的关系。 结束 2 解： （1） x 的导数是2x ，根据微积分基本定理得： x 2 （2）______ 的导数是 x ，根据微积分基本定理 3 得： 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x dx ? 3 ?1 ? 3 ? 0 ? 3 （3）根据微积分基本定理得： (sin x)? ? cos x ? 1 1 0 3 2 xdx ?12 ? 02 ? 1 2 （4）由牛顿-莱布尼茨公式得： 0 ? ? 2 cos xdx ? sin ? ? sin 0 ? 1 (e x )? ? e x 返回 ? 2 1 e x dx ?e 2 ? e1 ? e 2 ? e 分析： 1 被积函数为 f ( x ) ? x 2，是 x? 形式 ? ?1 x ? ? ?1 ? ? ( x ) ? (? ? 1) ? x ? x 的一个原函数是 ? ?1 1 3 1 ?1 1 2 2 2 2 x 的一个原函数是 F ( x ) ? x ? x 1 3 2 ?1 解： 由牛顿-莱布尼茨公式得： ? 1 0 2 3 x dx ? x 2 3 1 0 2 ? 3 例题3 析： (sin x)? ? cos x，则cos x的一个原函数是sin x。 解： 由牛顿-莱布尼茨公式可得： ? ? 0 cos xdx ? sin x 0 ? sin ? ? sin 0 ? 0 ? 由图知，定积分 内函数 y = cos x 与 x 轴所围平面图形面积的代数和， ? ? 0 cos xdx 的值就是区间 [0, ? ] 其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y ? o x y ? cosx 返回 分析： 被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分 的性质可知，和的定积分等于定积分的和： ? ? f ( x) ? g ( x)?dx ? ? b a b a f ( x )dx ? ? g ( x )dx a b 解： ? 2 1 2 (e x ? 3 x )dx x 2 x 2 1 3 22 ? ? e dx ? ? 3 xdx ? e ? x 1 1 1 2 3 9 2 2 ? ( e ? e) ? (4 ? 1) ? e ? e ? 2 2 概括 1. 求定积分： 2. 求定积分： 1 ln3 (1) (2) ? ?sin xdx ?2 3 ? (1) ?1 2 ( x ? x )dx 2 ? 1 1 dx x 1 ( 2) ?1 (1 ? )dx x e 23 6 e 3. 已知自由落体的运动速度 v=gt ( g为常数 )，则 当 t∈[1,2] 时，物体下落的距离是多少？ 3 g 2 2 2 提示： s ? vdt ? gtdt ? 1 ? 1 小结
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贡献于2014-04-20
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