2011年高考数学一轮复习(共87节)26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用
2011年高考数学一轮复习(共87节)26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用
26. 26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用 【知识网络】 1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2、会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形） ； 3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】 r （ ） 例 1：（1）、已知 a = 5 ，且 a = ( 4 , n ) ，则 n 的值是 A．3 B．－3 C．±3 D．不存在 答案：C。解析： a = ? 3 0 ? ? 3? ? ? ?= ?0 1? ?1 ? ?310 ? ? ?1 ? 10 4 2 + n 2 = 5 ，解得 n=±3。 ( ) （2） ? ?39 ? ?1 ? A、 ? ? B、 ? C、 ? ?311 ? ? ?1 ? D、 ? ?312 ? ? ?1 ? 答案：C。解析： ? ?3 0 ? ?3? ?310 0 ? ?3? ?311 ? ?? ? = ? ?。 ? ? ?=? ?0 1? ?1 ? ?0 1 ? ?1 ? ?1 ? 10 （3）设某校午餐有 A、B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订 A 便当的人，隔天再 订 A 便当的机率是 ；订 B 便当的人，隔天再订 B 便当的机率为 ，已知星期一有 40%的同 学订了 A 便当，60%的同学订了 B 便当，则星期四时订 A 便当同学的比率为 A、 208 625 3 5 4 5 （ ） B、 209 625 C、 210 625 D、 211 625 ?3 ? 答案：D。解析：设 M= ? 5 ?2 ?5 ? 1? ? 47 39 ? ? 2 ? ? 211 ? ? ? ? ? 5 ? ? 625 ? 5 3 125 125 ? ，则 M ? ?? ? = ? ?。 4? ? 78 86 ? ? 3 ? ? 414 ? ?125 125 ? ? 5 ? ? 625 ? 5? ? ? ?? ? ? ? ?1 2 ? ? ? （4）矩阵 ? 5 ?3 ? 的特征值是 ? ? ?2 ? λ ?1 5 2 。 答案：-4 或 2。解析：矩阵 M 的特征值 λ 满足方程 -2 =( λ -1) ( λ +3)-(- λ +3 5 2 )(-2)= λ +2 λ -8=0 2 解得，矩阵 M 的两个特征值 λ 1=-4， λ 2=2。 （5）一实验室培养两种菌，令 {an } 和 {bn } 分别代表两种培养菌在时间点 n 的数量，彼 此 有 如 下 的 关 系 an +1 = 2(an + bn ), bn +1 = 2bn (n = 0,1, 2L) ， 若 二 阶 矩 阵 A= ? ? 满足 ?c d ? ? an+b ? ? an ? （其中 n=0,1,2…） ，则 a = ? ? =A? ? ， ?c n+3 ? ?b n ? ?a b ? ，b = ，c = ，d = 。 答案：8，24，0，8。解析： ? ? an + 3 = 2an + 2bn ? an + 2 = 4an + 8bn ? an + 3 = 8an + 24bn ?? ?? ， ?bn +1 = 2bn ?bb + 2 = 4bn ?bn + 3 = 8bn 故? ? an+3 ? ?8 24 ? ? an ? ?=? ? ? ? 得 a = 8, b = 24, c = 0, d = 8 。 ? b n+3 ? ?0 8 ? ?bn ? 例 2：根据下列条件试判断 M α 是否与 α 共线 ⑴M= ? 0? ， 非零向量 α = ? x ? ⑵ M= ?- 1 3? ?y? ?2 ? ? ? ? 3 0? ? x ? = ?3x ? =3 ? x ? 答案：⑴ M α = ? ?0 3 ? ? y ? ?3y ? ? y ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ?0 ? -1 ?2 ? 2? ， α = ?3 ? 3? ?- 2 ? ? ? ? 所以 M α 与 α 共线。 ⑵ Mα = ? 2? ?3 ? = ?- 7 ? -7 3 而 ? ? 与 ? ? 不共线。 即此时 M α 与 α 不共线。 3 ? ?- 2 ? ?0 ? ?0 ? ?- 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- 1 2 ? 例 3：求矩阵 M= ? 5 ? 的特征值和特征向量 ? 2 3? ? ? 答案：矩阵 M 的特征值 λ 满足方程 λ +1 5 2 -2 λ -3 =( λ +1) ( λ -3)-(- 5 2 )(-2)= λ -2 λ -8=0 2 解得，矩阵 M 的两个特征值 λ 1=4， λ 2=-2 x ⑴设属于特征值 λ 1=4 的特征向量为 ? ? ，则它满足方程： ?y? ? ? ( λ 1+1)x+(-2)y=0 即： （4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取 ? ? 为属于特征值 λ 1=4 的一个特征向量 ?2? ?5 ? x ⑵设属于特征值 λ 1=-2 的特征向量为 ? ? ，则它满足方程： ?y? ? ? ( λ 2+1)x+(-2)y=0 即： （-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 - 2? 为属于特征值 λ =-2 的一个特征向量 2 ?1 ? ? ? ?- 1 2 ? 综上所述：M= ? 5 ? 有两个特征值 λ 1=4， λ 2=-2， ? 2 3? ? ? 则可取 ? ?2? -2 属于 λ 1=4 的一个特征向量为 ? ? ，属于 λ 2=-2 的一个特征向量为 ? ? 。 ?1 ? ?5 ? ? ? 例 4：已知：矩阵 M= ? 5 答案：由上题可知 α 特征向量，而 α ∴M 3 1 ?- 1 ?2 ? 2? 3 ?1 ? ? ，向量 α = ?16? 求 M α ? ? 3? ? 1 1 =? ? ， ?5? ? ? 2 α 2 = ?1 2? 是矩阵 M 分别对应特征值 λ 1=4， λ 2=-2 的两个 ? ? ? ? α = ?1 ? =3 ?1 ? + ?1 2? =3 α 1+ α 2 ?16? ?5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与α 不共线。又 α = M3（3 α 1+ α 2）=3 M3 α 1+ M3 α 2 =3 λ 13 α 1+ λ 23 α 2=3×43 ?1 ? +（-2）3× ?1 2? 5 1 -2 192 × 1 + (-8) × (-2)? = ?208? 。 = 192× ? ? -8× ? ? = ? ?5? ? ? ?1 ? ?192 × 5 + (-8) × 1 ? ?952 ? ? ? ? ? ? ? 【课内练习】 1． a ＝(3，－1)， b ＝(－1，2)，则－3 a －2 b 的坐标是 A．(7，1) 答案：B。 2．矩阵 ? ?4 2? ? 的特征值是 ?2 1 ? ( ) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) （ ） A、0 和 5 B、0 和—5 C、1 和 4 D、—1 和—4 答案：A。解析：由已知 f (λ ) = (λ ? 4)(λ ? 1) ? 4 = λ 2 ? 5λ = 0 ，解得 λ1 = 0, λ2 = 5 。 B 3．下图为一个网络，则一级路矩阵为 （ A C D ） ?0 ?1 A、 ? ?1 ? ?2 1 1 2? 0 1 0? ? 1 0 0? ? 0 0 0? ?0 ?1 B、 ? ?2 ? ?2 1 2 2? 0 1 2? ? 1 0 0? ? 2 0 0? ?0 ?2 C、 ? ?2 ? ?2 2 2 2? 0 2 1? ? 2 0 0? ? 1 0 0? ?0 ?2 D、 ? ?2 ? ?2 2 2 2? 0 2 2? ? 2 0 2? ? 2 2 0? 答案：A。 4．矩阵 A= ? ?1 4 ? ? 的特征多次式为 ? 2 3? 。 λ ? 1 -4 = λ 2 ? 4λ ? 5 。 -2 λ -3 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 答案： λ 2 ? 4λ ? 5 。解析： f (λ ) = 5．设 A 是一个二阶矩阵，满足 A ? ? = 3 ? ? ，且 A ? ? = 6 ? ? ，则 A= 0 0 3 3 答案： ? ?3 1 ? ?a b ? ? 。解析：设 A= ?c d ? ， ?0 6 ? ? ? 则 a = 3, c = 0, a + 3b = 6, c + 3d = 18,∴ a = 3, b = 1, c = 0.d = 6 。 。 ?1 2 ? 。 ? 的所有特征向量为 ?3 2 ? ?2? ?1 ? 答案：k ? ? 和 k ? ? , (k ≠ 0) 。解析：已知 f (λ ) = (λ ? 1)(λ ? 2) ? 6 = λ 2 ? 3λ ? 4 = 0, ?3 ? ? ?1? 6．矩阵 M= ? ∴ λ1 = ?1, λ2 = 4 ，对应 的特征向量为 ? ? 和 ? ? ，故所 有的特征向量为： k ? ? 和 ? ?1? ?3 ? ?3 ? k ? ? , (k ≠ 0) 。 ?1 ? ? ?1 ? ?1 ? ?2? ?2? 7． 已知点列 Pn ( xn , yn )(n ∈ N * ) 满足 ? 答案： （—2，—6） 。 ? xn +1 = 2 x n ? yn ? ， x1 = 1, y1 = 2 ， P4 坐标为 且 则 ? yn +1 = 4 xn ? yn ? 。 ? ? xn + 3 = 2(? yn ) ? (4 xn ? 3 yn ) ? xn + 2 = 2(2 x n ? yn ) ? 4 xn + yn = ? yn ? 解析： ? yn + 2 = 4(2 x ? yn ) ? 4 xn + yn = 4 xn ? 3 yn ? yn + 3 = 4(? yn ) ? (4 xn ? 3 yn ) ? ? n ? 即? ? xn + 3 = ?4 xn + yn ? x ? ? ?4 1? ? xn ? ，故 ? n + 3 ? = ? ? ? ? ，又 x1 = 1, y1 = 2 ， ? yn + 3 = ?4 xn ? yn ? yn + 3 ? ?-4 -1? ? yn ? ? ?4 1? ?1 ? ? ?2 ? ∴? 。 ? ? ? = ? ? ，即 P4（—2，—6） ?-4 -1? ? 2 ? ? ?6 ? 8．求矩阵 A= ? ?3 1 ? ? 的特征值与特征向量。 ?0 -1? 答案： 矩阵 A 的特征多项式 f (λ ) = (λ ? 3)(λ + 1),∴ λ = 3 或—1，其相应的特征向量分别为 ?1 ? ?1 ? ? 0 ? 和 ? ?4 ? 。 ? ? ? ? 9．已知⊿ABC 的坐标分别为 A（1，1） 、B（3，2 ） 、C（2，4 ） ，①写出直线 AB 的向量 方程及其坐标形式。②并求出 BC 边上的高。 答案：①AB 的平行向量为：V0= ? V 3 - 1? = ?2 ? ，设 M 为直线 AB 上的任意一点，故： ?2 - 1? ?1 ? ? ? ? ? x 1 2 所求向量方程为：OM = OA + t? V0 ( t ∈ R ) 其坐标形式分别为： ? ? = ? ? + t ? ? OM ? y ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? x = 1 + 2t 消去 t 后得普通方程 ( t ∈ R ) ②由 ①，直线 AB 的坐标形式方程可化为： ? ?y = 1 + t ? 为： x-2y+1=0 所以所求高为 C 到直线 AB 的距离， 设为 h,则： h= |1× 2 ? 2 × 4 + 1 | 1 2 + (? 2 ) 2 = 5 。 10． 假设某地只有甲乙两家工厂生产并贩卖某一种产品每一年甲工厂的顾客中有 转向 乙工厂购买此产品，只有 仍然向甲工厂购买；而乙工厂的顾客中有 转向甲工厂购买，其 余 的顾客仍然向乙工厂购买， 请问一年、 二年、 三年后， 甲乙两家工厂的市场占有率为何？ 答案：设甲乙两工厂目前市场占有率为 x0 , y0 ，其中 x0 + y0 = 1, n 年后甲乙两工厂市场占 有率分别为 xn , yn 第一年甲工厂的市场占有率 x1 = ?1 ? 令 A= ? 4 ?3 ?4 ? 1 1 3 2 x0 + y0 ，乙工厂的市场占有率 y1 = x0 + y0 ， 4 3 4 3 1? ?1 1 ? ? 4 3 ? ? xn ? ? x1 ? ? xn ? 3? ? ，Xn= ? ? ，则可用 AX0= ? ? ? ? = ? ? =X1 表示上述的关系 2? ? 3 2 ? ? yn ? ? y1 ? ? yn ? ?4 3? 3? ? ? ? 2 3 3 4 1 4 1 3 第二年甲工厂的市场占有率 x2 = ?1 ? 则 AX1= ? 4 ?3 ?4 ? X n = AX n ?1 1 1 3 2 x1 + y1 ，乙工厂的市场占有率 y2 = x1 + y1 ， 4 3 4 3 1? 3 ? ? x1 ? ? x2 ? = =X2…AXn=Xn+1,…根据上述的关系： ? 2 ? ? y1 ? ? y2 ? ? ? ? ? 3? ? = A( AX n ? 2 ) = A2 ( AX n ? 3 ) = A3 X n ? 3 = L = An X 0 11 ? 11 ? ? 15 ? 177 x0 + y0 ? 432 36 ? ? x0 ? ? 48 36 ? ?? ? = ? ? ，X3= ? 25 ? ? y0 ? ? 33 25 ? ? 255 x + y ? 48 0 36 0 ? ? 432 36 ? ? ? ? ? 133 ? 133 ? ? 177 x0 + y0 432 ? ? x0 ? ? 432 432 ? ?? ? = ? ? 299 ? ? y0 ? ? 255 299 ? x0 + y0 ? 432 432 ? 432 ? ? ? ?
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