第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化

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第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化_理学_高等教育_教育专区

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第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化_理学_高等教育_教育专区。第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念, 并利用它们解决矩阵的对角化问题。 另外特征值 理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时, 都有广泛的应


第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念, 并利用它们解决矩阵的对角化问题。 另外特征值 理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时, 都有广泛的应用。 §1 矩阵的特征值与特征向量 定义 1 设 A 是 n 阶方阵,如果存在数 ? 和非零的 n 维向量 ? ,使得 那么, 称 ? 为矩阵 A 的一个特征值,而称 ? 为 A 的属于特征值 ? 的一个特征向量。 从几何上看, 矩阵 A 的特征向量 ? 经过矩阵 A 作用后所得到的向量 ? ? 与特征向量 ? 共 线, 而比例系数 ? 就是特征向量 ? 所属的特征值。 如果 ? 是矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量, 则 ? 的任何一个非零倍数 k? 也是 A 的属 于 ? 的特征向量, 因为从(1.1)式可以推出 A? ? ?? (1.1) A(k? ) ? kA? ? ? (k? ) 进一步,若 ?1 ,? 2 ,? ? s , 都是 A 的属于 ? 的特征向量,且 ? ? k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ≠ 0, 则 ? 仍然是 A 的属于 ? 的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特 征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。 下面讨论特征值和特征向量的求法。 根据定义, 若 ? 为 n 阶矩阵 A ? (aij ) 的属于特征值 ? 的特征向量,则 ? 为齐次线性方程 组 ( A ? ?E ) X ? 0 即 ?(a11 ? ? ) x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 ?a x ? (a ? ? ) x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n (1.2) ? ?????? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? (a nn ? ? ) x n ? 0 ? 的非零解,反之亦然。根据线性方程组解的理论可知, ? 是矩阵 A 的特征值的充分必要条件为 方程组(1.2)的系数行列式 A ? ?E ? 0 。 定义 2 对于 n 阶矩阵 A ? (aij ) , a11 ? ? f (? ) ? A ? ?E ? a 21 ? a n1 a12 ? an2 ? ? a1n a2n ? a 22 ? ? ? ? a nn ? ? 是 ? 的 n 次多项式,称为方阵 A 的特征多项式,方程 f (? ) ? 0 称为方阵 A 的特征方程。 94 根据前面的讨论,得到求矩阵 A 的特征值和特征向量的具体步骤: (1)写出矩阵 A 的特征多项式 f (? ) ? A ? ?E ; (2)求出特征方程 f (? ) ? 0 的全部根。这些根就是 A 的全部特征值。 (3)对所求得的每一个特征值 ? ,代入齐次线性方程组 ( A ? ?E ) X ? 0 ,求出一个基础解 系: ?1 ,? 2 ,?? r ,则 k1?1 ? k 2? 2 ? ?k r? r , (k1 , k 2 ,?k r 不全为 0)便是 A 的属于特征值 ? 的 全部特征向量。 例 1 求矩阵 ? 2 3 2? ? ? A ? ?1 4 2? ?1 ? 3 1? ? ? 的特征值和特征向量。 解 A 的特征多项式为 2?? f ( ? ) ? A ? ?E ? 1 1 2 3 4?? ?3 2 2 1? ? ? (1 ? ? )(? ? 3) 2 所以 A 的特征方程为 (1 ? ? )(? ? 3) ? 0 ,得 A 的特征值 ?1 ? 1, ? 2 ? ?3 ? 3 。 对于 ?1 ? 1 时,解方程 ( A ? E ) X ? 0 ,由 ?1 3 2 ? ? 1 0 1 ? ? ? ? ? A ? E ? ?1 3 2 ? ? ? 0 3 1 ? ?1 ? 3 0 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? 得基础解系 ?1 ? ? ? 1 ? ,所以属于特征值 ?1 ? 1 的全部特征向量是 k1 ? ? 1 ? ,其中 k1 ? 0 , k 1 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? 为实数。 对于 ? 2 ? ?3 ? 3 ,解方程 ( A ? 3E ) X ? 0 ,由 2 ? ?1 0 1? ??1 3 ? ? ? ? A ? 3E ? ? 1 1 2 ? ? ?0 1 1? ? 1 ? 3 ? 2? ?0 0 0? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 得 基 础 解系 ? 2 ? ? ? 1? , 所 以 属 于特征 值 ? 2 ? ?3 ? 3 的 全 部 特 征向 量 是 k 2 ?1? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ,其 中 ?1? ? ? 95 k 2 ? 0 , k 2 为实数。 例 2 求矩阵 2 ? 1? ? 3 ? ? A ? ?? 2 ? 2 2 ? ? 3 6 ? 1? ? ? 的特征值和特征向量。 解 A 的特征多项式为: 3?? f (? ) ? A ? ?E ? ? 2 3 2 2 ?2?? 6 ?1 2 ?1? ? ? ( ? ? ? 4) ( ? ? 2) 2 所以 A 的特征方程为 (?? ? 4) (? ? 2) =0,得 A 的特征值 ?1 ? ?4, ? 2 ? ?3 ? 2 。 对于 ?1 ? ?4 时,解方程 ( A ? 4E ) X ? 0 ,由 ? 7 2 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1? ? ? ? ? A ? 4E ? ? ? 2 2 2 ? ? ? 0 3 2? ? 3 6 3 ? ?0 0 0? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 得基础解系 ?1 ? ? ? 2 ? ,所以属于特征值 ?1 ? ?4 的全部特征向量是 k1?1 ? k1 ? ? 2 ? ,其中 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? k1 ? 0 , k1 为实数。 对于 ? 2 ? ?3 ? 2 ,解方程 ( A ? 2E ) X ? 0 ,由 2 ? 1 ? ? 1 2 ? 1? ? 1 ? ? ? ? A ? 2E ? ? ? 2 ? 4 2 ? ? ? 0 0 0 ? ? 3 6 ? 3? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 得 基 础 解 系 ?2 ? ? 1 ? , ? 0 ? ? ? ? 1? ? ? ? 3 ? ? 0 ? , 所 以 属 于 特 征 值 ? 2 ? ?3 ? 2 的 全 部 特 征 向 量 为 ? 1? ? ? k 2? 2 ? k 3?3 (其中 k 2 , k 3 是不全为 0 的实数)。 96 例3 ?a ? ? ? a ? ? 求 n 阶数量矩阵 A ? ? ? 的特征值和特征向量。 ? ? ? ? a? ? ? 矩阵 A 的特征多项式 解 a?? f ( ? ) ? A ? ?E ? a?? ? a?? 从而 A 的特征方程为 (a ? ? ) ? 0 ,得 A 的特征值 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? a 。 n ? (a ? ? ) n 。 对于 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? a ,解方程组 ( A ? aE) X ? 0, 此方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意 n 个线性无关的向量都是它的基础解系。取单位向量组 ?1? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ?0? ? 1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? ,…, ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?1? ? ? ? ? ? ? 作为基础解系,于是 A 的属于特征值 a 的全部特征向量为 k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k n ? n ( k1 , k 2 ,?, k n 不全为 0)。 由例 3 可推广,任一对角矩阵 A 的特征值就是它的主对角线上的元素,从而对角矩阵 A 的 所有特征值之和等于主对角线上元素之和,而 A 的所有特征值的乘积等于行列式 A ,根据多 项式的根与系数之间的关系,此结论可推广到任意方阵。 设 n 阶矩阵 A ? (aij ) 有 n 个特征值为 ?1 , ? 2 ,?, ? n (k 重特征值算作 k 个特征值),则 (1) ?? ? ?a i ?1 n i i ?1 n n ii ; (2) ?? i ?1 i ? A 。 其中 ?a i ?1 n ii 是 A 的主对角线元素之和,称为矩阵 A 的迹,记作 tr(A) 。 例 4 设 ? 是方阵 A 的特征值,证明 ? 是 A 的特征值。 2 2 97 证 因为 ? 是方阵 A 的特征值,所以存在非零向量 ? ,使 A? ? ?? 。 从而 A 2? ? A( A? ) ? A(?? ) ? ? ( A? ) ? ?2? 。 所以 ? 是 A 2 的特征值。 2 按例 4 类推,若 ? 是 A 的特征值,则 ? 是 A k 的特征值, f (? ) 是 f (A) 的特征值,其中 k f (? ) ? a 0 ? a1? ? ? ? a m ? , f ( A) ? a0 E ? a1 A ? ? ? a m A m (留作练习)。 m 定理 1 设 ?1 , ? 2 , ? ? s 是矩阵 A 的互不相同的特征值, ? 1 ,? 2 ,?? s 是其对应的特征向 量,则 ? 1 ,? 2 ,?? s 是线性无关的。 证 对不同特征值的个数作数学归纳法。当 m ? 1 时,因为特征向量 ? 1 非零,所以 ? 1 是线 性无关的,结论成立。 假设定理对 m ? k 成立,下面证明: m ? k ? 1 时也成立。 设 c1?1 ? c2? 2 ? ? ? ck? k ? ck ?1? k ?1 ? 0 用矩阵 A 左乘上式两端,得 (1.3) c1 A?1 ? c2 A? 2 ? ? ? ck A? k ? ck ?1 A? k ?1 ? 0 即 c1?1?1 ? c2 ?2? 2 ? ? ? ck ?k ? k ? ck ?1?k ?1? k ?1 ? 0 将(1.3)式两端分别乘以 ? k ?1 ,得 (1.4) c1?k ?1?1 ? c2 ?k ?1? 2 ? ? ? ck ?k ?1? k ? ck ?1?k ?1? k ?1 ? 0 (1.5)式两端分别减去(1.4)两端,得 (1.5) c1 (?k ?1 ? ?1 )?1 ? c2 (?k ?1 ? ?2 )? 2 ? ? ? ck (?k ?1 ? ?k )? k ? 0 由假设 ? 1 ,? 2 ,?? k 线性无关,于是有 ci (?k ?1 ? ?i ) ? 0 , i ? 1,2,? k 由已知条件 ?1 , ?2 ,??k ?1 是 k ? 1 个不同的特征值,从而 ?k ?1 ? ?i ? 0 ( i ? 1,2,? k ),所 以 98 c1 ? c2 ? ? ? ck ? 0 将(1.6)式代入(1.3)式,得 (1.6) ck ?1? k ?1 ? 0 由特征向量 ? k ?1 ? 0 ,得 c k ?1 ? 0 ,故 ?1 ,? 2 ,?? k ?1 线性无关。 综合上述,定理成立。 推论 1 设 ?1 , ? 2 , ? ? s 是 n 阶矩阵 A 的 s 个互不相同的特征值,对应于 ? i 的线性无关的特 征 向 量 为 ? i1 , ? i 2 , ?? iri ( i ? 1,2,? s ), 则 由 所 有 这 些 特 征 向 量 构 成 的 向 量 组 ?11 ,?12 ,?,?1r ,? 21 ,? 22 ,?,? 2 r ,?,? s1 ,? s 2 ,?,? sr 线性无关。 1 2 s §2 相似矩阵和矩阵的对角化 对角矩阵是最简单的一种矩阵, 现在考虑对于给定的 n 阶方阵 A , 是否存在可逆矩阵 P , 使 P ?1 AP 为对角矩阵, 这就称为把方阵 A 对角化。为此,首先给出相似矩阵的概念。 定义 1 设 A, B 都是 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P ,使 P ?1 AP ? B 则称矩阵 A 与 B 相似,或 A 、 B 是相似矩阵,记为 A ~ B ,可逆矩阵 P 称为将 A 变换成 B 的相 似变换矩阵。 由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系, 具有如下性质 (1) 反身性 A ~ A ; (2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A ; (3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C 。 它们的证明,留给读者作为练习。 定理 1 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而也有相同的特征值。 证 设 A ~ B , 则存在可逆矩阵 P ,使 P AP ? B ,故 ?1 B ? ?E ? P ?1 AP ? P ?1 (?E ) P ? P ?1 ( A ? ?E ) P ? P ?1 A ? ?E P ? A ? ?E 推论 1 相似矩阵的行列式相同, 迹相同, 秩也相同。 下面介绍矩阵可对角化,即相似于对角矩阵的条件。 。 定理 2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特

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