常州市2014届高三第一次模拟考试数学

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常州市2014届高三第一次模拟考试数学_数学_高中教育_教育专区

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常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题 2014 年 1 月 参考公式: 2 样本数据 x1 , x 2 ,…, x n 的方差 s ? 1 n 1 n ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设集合 A ? x x2 ? 1 ,x ? R , B ? ?x 0 ≤ x ≤ 2? ,则 A ? B =▲. 2. 若 ? ? 1 ? mi ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位) ,则 mn 的值为▲. i x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为▲. a2 4 3. 已知双曲线 4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽样 的方法在这 130 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了 24 名,则在高 二年级学生中应抽取的人数为▲. mg / m3 ) 5. 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5 (直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物) 的数据 (单位: 分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为▲. 2 2 6. 函数 y ? 2sin x ? 3cos x ? 4 的最小正周期为▲. 7. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶 中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲. ? x ? y ≥3, ? 2 2 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x ? y 的最大值为▲. ? x ≤ 3, ? 4 3 2 x 9. 若曲线 C1 : y ? 3x ? ax ? 6x 与曲线 C2 : y ? e 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为▲. 10.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 ▲ . 3 ? p p? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 项 11.已知 q ? ? ? , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? 6 6 9 ? ? 的和为 0,则 q 的值为▲. ?? 1 ? x ?? ? , x ? 0, 12.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 ▲ . 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0, a 2 ? b2 13.在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 tan A ? 7 tan B , 则c ? ? 3, c ▲ . 2 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x ? y ? 16 ,点 P(1, 2) ,M,N 为圆 O 上不同的两 ???? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 点,且满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) ?? ? 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C,cos A) . ?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A; ?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5 16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥ E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ; ( 3 )若 A1 A ? 2 AB ? 2BC ? 2a ,求三棱锥 的体积. 17. (本小题满分 14 分) A?1 A E BC , F B?1 B F ? ABC C?1 C (第 16 题) 设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a5 , S5 ? 25 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p , q 为互不相等的正整数,且等差数列 {bn } 满足 bap ? p , baq ? q ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: O y l B M P Q A x (第 18 题) x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l,动直线 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B a 2 b2 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两 1 点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率) , e 且 OQ ? 5OM . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 说明理由. m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请 k 19. (本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3 D 打印店,生产并销售某种 3 D 产品.已知该店每月生产的 产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组成: 第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出 20000 元.假设该产品 的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x (元 / 件) ( x ? N )之间满足如下关系:①当 ? 34 ≤ x ≤ 60 时 , t ( x) ? ?a( x ? 5)2 ? 10050 ; ② 当 60 ≤ x ≤ 70 时 , t ( x) ? ?100 x ? 7600 .设该店月利润为 M (元) ,月利润=月销售总额-月总成本. (1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? a ,a?R . x (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ? a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1 ? b ? ? a?b ? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ? 常州市教育学会学生学业水平监测 数学Ⅱ(附加题)2014 年 1 月 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题 ...... .. 卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABCD 内接于⊙ O ,AB∥CD.过点 A 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E. 求证:∠DAE=∠BAC. C O B A D (第 21-A 题) E B.选修 4—2:矩阵与变换 ?0 1 ? 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵 A ? ? 若直线 l ? 过点 (1,1) , ? 对应的变换作用下得到直线 l ? , ?1 2 ? 求实数 a 的值. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 p p 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ? ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 6 4 D.选修 4—5:不等式选讲 2 2 2 2 已知 x ≥1 , y ≥ 1 ,求证: x y ? xy ? 1 ≤ x y ? x ? y . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC,AC⊥ BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB, PB 的中点,PO⊥ AB,连结 CD. (1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为 5 ,求 5 P D A O PA. B 23. (本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数. C (第 22 题) 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ?0,1? 2. ?1 3. 1 4.15 5.31.6(写成 8. 158 7 也对) 6. p 7. 10 5 1 1 p 9. 10. (1) (2)11. ? 12. (log 1 9, 4) 13.414. 3 3 ? 5 2 3e 9 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 15.解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ………………………………………………2 分 ∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ABC 中, tan A ? p p .∴ B ? . 2 2 ………………………………4 分 …………………………………6 分 p a 3 ? ,A? . c 3 6 ?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B . 2 由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C) ? 3sin B . 1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C ) ? sin B . 从而 sin B ? . 3 ∵ cos A ? ……………8 分 ……………………10 分 2 2 . 3 4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5 ∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B 4 2 2 3 1 3?8 2 ? ? ? =? ? . 5 3 5 3 15 ………12 分 …………………………………14 分 16.证明: (1)连结 A1C . ∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1C1C 是矩形, ∴点 F 在 A1C 上,且为 A1C 的中点. 在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点,∴EF∥BC.……………2 分 又∵BC ? 平面 ABC,EF ? 平面 ABC,所以 EF∥ 平面 ABC.………………4 分 (2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC. ∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF.………………………………6 分 ∵ B1 B ? AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 .………………………………8 分 ∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 .………………………………10 分 1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 ………………………………12 分 2 2 3 1 1 1 a3 = ? ? a2 ? 2a ? . 2 3 2 6 ………………………………14 分 ?3a1 ? 3d ? a1 ? 4d, ? a ? 1, 17.解: (1)由已知,得 ? 解得

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