2010年上海高考理科数学试题及答案-2010 年普通高等学校

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2010年上海高考理科数学试题及答案-2010 年普通高等学校_其它考试_资格考试/认证_教育专区

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2010年上海高考理科数学试题及答案-2010 年普通高等学校_其它考试_资格考试/认证_教育专区。2010 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学(理科) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学(理科) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 2? x 。 ? 0 的解集是 (-4,2) x?4 2? x 解析:考查分式不等式的解法 ? 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 x?4 1.不等式 2.若复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? 6-2i 解析:考查复数基本运算 z ? z ? z ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 1 ? 2i ? 6 ? 2i 3. 动 点 P 到 点 F ( 2, 0)的 距 离 与 它到 直 线 x ? 2 ? 0 的 距 离 相 等, 则 P 的 轨 迹 方 程为 。 y 2 ? 8x 。 解析:考查抛物线定义及标准方程 定义知 P 的轨迹是以 F (2, 0) 为焦点的抛物线,p=2 所以其方程为 y2?8x cos 4.行列式 ? 3 sin cos ? 6 sin ? 3 ? 6 的值是 0 。 cos 解析:考查行列式运算法则 ? 3 sin cos ? 6 sin 2 2 ? 3 ? 6 = cos π π π π ? cos ? sin sin ? cos ? 0 3 6 3 6 2 5. 圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的 圆 心 到 直 线 l: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的 距 离 d ? 3 。 解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为 6. 随机变量 ? 的概率分布率由下图给出: 3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5 ?3 则随机变量 ? 的均值是 8.2 解析:考查期望定义式 E ? =7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园,20:00 停止入园。在右边的框图中, S 表示上海 世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a 表示整点报道前 1 个小时内入园人数, 则 空白的执行框内应填入 S ? S+a 。 8.对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)= log a ( x ? 3) 的反函数的图像都经过点 P,则点 P 的 坐标是 (0,-2) 解析:f(x)= log a ( x ? 3) 的图像过定点(-2,0) ,所以其反函数的图像过定点(0,-2) 9. 从一副混合后的扑克牌 (52 张) 中随机抽取 1 张, 事件 A 为 “抽得红桃 K” , 事件 B 为 “抽 得为黑桃” ,则概率 P(A ? B)== 7 (结果用最简分数表示) 26 解析:考查互斥事件概率公式 P(A ? B)= ? 1 2 3 ??? ? ? 2 3 4 ??? 10.在 n 行 n 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? ? 1 13 ? ? 52 52 n ? 2 n ?1 n ?1 n n 1 ??? ??? n?3 n?2 7 26 n ? ? 1 ? 2 ? 中, ? ??? ? n ? 1? ? 记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。当 n ? 9 时 , a1 1 ? a 2 2 ? a 3 3? ? ? ? ?a 9 9 ? 45 。 解析: a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )x 轴、y 轴围成的封闭 * 图形的面积记为 S n ,则 lim Sn ? n ?? 1 。 解析:B ( n n , ) 所以 BO⊥AC, n ?1 n ?1 1 n n 1 所以 lim Sn ? 2? Sn = ? 2 ? n ?? 2 2 n ?1 n ?1 12.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去 AOB ,将剩余 部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A、 (B) 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 8 2 3 解析:翻折后的几何体为底面边长为 4,侧棱长为 2 2 的正三棱锥, 高为 2 6 1 1 3 2 6 8 2 ? ? 所以该四面体的体积为 ? ? 16 ? 3 2 2 3 3 3 13 。 如 图 所 示 , 直 线 x=2 与 双 曲 线 ? : ?2 4 ? y 2 ? 1 的 渐 近 线 交 于 E1 , E2 两 点 , 记 OE1 ? e1 , OE2 ? e2 ,任取双曲线 ? 上的点 P,若 OP ? ae1 , ?be2 (a、b ? R) ,则 a、b 满足 的一个等式是 4ab=1 解析: E1 (2,1), E2 (2,?1) OP ? ae1 ? be2 = (2a ? 2b, a ? b) ,点 P 在双曲线上 ? (2a ? 2b) 2 ? (a ? b) 2 ? 1,化简得 4ab?1 4 14.以集合 U= ?a,b,c,d ? 的子集中选出 2 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1)a、b 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B或B ? A ,那么共有 36 种不同的选 法。 解析:列举法 共有 36 种 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15. “ x ? 2 k? ? ? 4 ? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的 (B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. [答]( A ) (A)充分不必要条件. (C)充分条件. 解析: tan(2k? ? ? 4 ) ? tan ? 4 ? 1 ,所以充分; 但反之不成立,如 tan 16.直线 l 的参数方程是 ? (A)(1,2) (B)(2,1) 5? ? 1 ,所以不必要 4 可以是 【答】 ( C) ? x=1+2t (t ? R) ,则 l 的方向向量是 d ? y=2-t (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析:直线 l 的一般方程是 x ? 2 y ? 5 ? 0 , k ? ? 17.若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间 x 1 ,所以 C 正确 2 【答】 (C) 1 2 1 (A)( 2 ,1) 3 (B)( 1 2 , ) 2 3 1 1 (C)( 1 1 , ) 3 2 1 1 (D)(0, 1 ) 3 1 1 ? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?2 ? 1 ?3 解析:结合图形? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ,∴ x0 属于区间( , ) 3 2 ?2? ? 3? ? 2? ?2? 1 1 1 18. 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , ,则此人能 13 11 5 (D) (A)不能作出这样的三角形 (B)作出一个锐角三角形 (C)作出一个直角三角形 (D)作出一个钝角三角形 解析:设三边分别为 a,b,c,利用面积相等可知 【答】 1 1 1 a ? b ? c,? a : b : c ? 13 : 11 : 5 13 11 5 由余弦定理得 cos A ? 5 2 ? 112 ? 13 2 ? 0 ,所以角 A 为钝角 2 ? 5 ? 11 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ? ? 2 ,化简: x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 4 =0 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 5 分,第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N * (1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由。 (2) S n = n ? 75( ) n ?1 ? 90 5 6 n=15 取得最小值 5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an ?1 ? 1) , 6 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列; ?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? n ?1 n ?1 ?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6? n ?1 ,从而 ? n ? 90 (n?N*); n ?1 ?5? 解不等式 Sn<Sn?1, 得? ? ?6? ? 2 2 ,n ? log 5 当 n≥15 时, 数列{Sn}单调递增; ? 1 ? 14.9 , 5 25 6 同理可得,当 n≤15 时,数列{Sn}单调递减;故当 n?15 时,Sn 取得最小值. 21、 (本大题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝, 骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼 的底面半径为 0.3 米时,求图中两根直线 A1 B3 与 A3 B5 所在异面直线 所成角的大小(结果用反三角函数表示) 解 析 : (1) 设 圆 柱 形 灯 笼 的 母 线 长 为 l , 则 l?1.2?2r(0<r<0.6) , S??3?(r?0.4)2?0.48?, 所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; (2) 当 r?0.3 时 , l?0.6 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 可 得 A1 B3 ? (?0.3,0.3,0.6) , A3 B5 ? (?0.3, ?0.3,0.6) , 设向量 A1 B3 与 A3 B5 的夹角为?,则 cos ? ? A1 B3 ? A3 B5 | A1 B3 | ? | A3 B5 | ? 2 , 3 2 所以 A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小为 arccos . 3 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 10 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m > y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x 2 ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a3 ? b3 比 a 2b ? ab2 远离 2ab ab ; (3)已知函数 f ( x) 的定义域 D={x|x≠ kπ π .任取 x ? D , f ( x) 等 + ,k∈Z,x∈R } 2 4 于 sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的基本性质(结论 不要求证明). 解析:(1) x ? (??, ? 2) ( 2. ? ?) ; (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a3 ? b3 ? 2ab ab , a2b ? ab2 ? 2ab ab , 因为 | a3 ? b3 ? 2ab ab | ? | a 2b ? ab2 ? 2ab ab |? (a ? b)(a ? b)2 ? 0 , 所以 | a3 ? b3 ? 2ab ab |?| a2b ? ab2 ? 2ab ab | ,即 a3?b3 比 a2b?ab2 远离 2ab ab ; ? 3? ? sin x , x ? (k? ? , k? ? ) ? ? 4 4 , (3) f ( x) ? ? ? ? ? cos x , x ? (k? ? , k? ? ) ? ? 4 4 性质:1?f(x)是偶函数,图像关于 y 轴对称,2?f(x)是周期函数,最小正周期 T ? 3?函数 f(x)在区间 ( ? 2 , k ? ? k? k ? k? ? ? , ] 单调递增,在区间 [

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