2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第1节__曲线与方程_图文

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2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第1节__曲线与方程

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2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第1节__曲线与方程。高考数学 广东文科


☆星火益佰☆精品课件 考纲要求 ①了解方程与曲线的方程的对 应关系.②了解圆锥曲线的实 际背景,了解圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的 作用.③掌握椭圆、抛物线的 定义、几何图形、标准方程及 简单性质.④了解双曲线的定 义、几何图形和标准方程,知 道它的简单几何性质.⑤了解 圆锥曲线的简单应用.⑥理解 数形结合的思想. 高考展望 在历年高考数学试卷中,圆锥曲 线与方程都占有重要的地位.其命题 一般紧扣课本,突出重点,全面考 查.选择题和填空题考查基本概念、 基本方法,解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点,需要考生的知识形 成网络,会通过知识的重组解决问题, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 可能还要用到平面几何的基本知 识.新大纲对内容要求有所降低,但 在方法上并未降低,所以复习时要恪 守大纲,这点要引起足够的重视. 1.下列各组方程中表示相同曲线的是 ? D A. y ? x, 1 ? C. y ? x , y ? x B. y ? x,y ? x 2 2 2 ? D. y ? x ,x ? y y 解析:中, ? 1中的x ? 0; A x B中,y ? x ? x ? x, 2 C中, y ? x中的x ? 0,y ? 0, 故选D. 2.已知直线l:x ? y ? 3 ? 0及曲线C:x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 2, ? 2 2 则点M ? 2,1?? B ? A.在直线l上,但不在曲线C上 B.在直线l上,也在曲线C上 C.不在直线l上,也不在曲线C上 D.不在直线l上,但在曲线C上 1 3.已知? 是三角形的一个内角,且sin? ? cos? ? , 2 则方程x 2sin? ? y 2 cos? ? 1表示 ? C ? A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 1? 7 . 4 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 1 7 ?1 解析: sin? ? cos? ? ,知sin? ? 由 ,cos? 2 4 x2 2 2 则方程x sin? ? y cos? ? 1化简为 ? 2? 7 ? 1? 2? 3 它表示焦点在y轴上的椭圆. ? y2 ? 1, 7 ? 1? 3 1 1   4.已知点F ( ,,直线l:x ? ? ,点B是l上的动点. 0) 4 4 若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线 交于点M,则点M的轨迹是 ? D A.双曲线 B.椭圆 C.圆 ? D.抛物线   5.若双曲线 ? y 2 ? 1上有一动点P,O为坐标原点,M 为 线段OP的中点,则点M 的轨迹方程为 2-4y2=1 x 解析:设M ( x,y ),OM 交双曲线于N ( x0,y0 ). ? x0 ? 2 x x2 由已知得 ? ,代入 ? y 2 ? 1,整理可得x 2 ? 4y 2 ? 1. 4 ? y0 ? 2 y 直接法求轨迹方程 例题1:(2010? 广州一模)已知动点P到定点F ( 2,的距离与点P到 0) 2 定直线l:x ? 2的距离之比为 . 2 ?1? 求动点P的轨迹C的方程; ???? ???? ? 点E与点F 关于原点O对称, ?FN ? 0,求 MN 的最小值. EM ? 2 ? 设M 、N 是直线l上的两个点, 解析: ? 设点P( x,y ). ?1 依题意,有 ? x ? 2 ?2 ? y 2 | x?2 2 | 2 x2 y2 ? ,整理,得 ? ? 1. 2 4 2 x2 y 2 所以动点P的轨迹C的方程为 ? ? 1. 4 2 ? 2 ?因为点E与点F 关于原点O对称, 所以点E的坐标为(? 2, .因为M 、N 是直线l上的 0) 两个点,所以可设M (2,y1 ),N (2,y2 )(不妨设y1 ? y2 ). ???? ???? ? 因为EM ?FN ? 0,所以(3 2,y1 )?( 2,y2 ) ? 0, 6 即6 ? y1 y2 ? 0,即y2 ? ? . y1 由于y1 ? y2,则y1 ? 0,y2 ? 0. 6 6 所以 MN ? y1 ? y2 ? y1 ? ? 2 y1 ? ? 2 6, y1 y1 当且仅当y1 ? 6,y2 ? ? 6时,等号成立. 故 MN 的最小值为2 6. 反思小结:直译法的关键是建立恰当的坐标系,将 几何关系准确地代数化列出相应方程.此外,要注意 研究x、y的范围. 拓展练习:已知?ABC中,B ?1, 0 ? 、C ? 5, 0 ?,点A在x轴上 方移动,且tanB ? tanC ? 3,则?ABC的重心G的轨迹 方程为  y ?1 ? ? 9 7 11 2 ? x ? 3? ( x ? 且x ? ) 4 3 3 .  y0 y0 解析:设A( x0,y0 ).因为 tan B ? tan C ? 3,所以 ? ? 3, x0 ? 1 x0 ? 5 3 即点A的轨迹方程为y0 ? ? ( x0 2 ? 6 x0 ? 5)( x0 ? 1且x0 ? 5). 4 1 ? 5 ? x0 y 若G ( x,y )为?ABC的重心,则由重心坐标公式得x ? ,y ? 0 , 3 3 所以x0 ? 3 x ? 6,且y0 ? 3 y. 代入A点的轨迹方程得点G的轨迹方程为y ? 1 ? ? 9 7 11 2 x ? 3? ( x ? 且x ? ). ? 4 3 3 定义法求轨迹方程 例题2:与圆x 2 ? y 2 ? 4x ? 0外切,且与y轴相切的动圆 圆心的轨迹方程是 y2 ? 8x ? x ? 0? 或y ? 0( x<0) . 解析:若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点? 2, 0 ? 与到 定直线x ? ?2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在 y轴左侧,则动圆圆心的轨迹是x轴的负半轴. 答案:y 2 ? 8x ? x ? 0 ? 或y ? 0( x<0) 反思小结:本题一是用好抛物线的定义,二是不要 忽视特殊情况. 拓展练习: (2009? 汕头一模)如图,圆A的方程为 ? x ? 3? ? 2 y 2 ? 100,定点B ? 3, 0 ?,动点P为圆A上的任意一点. 线段BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q, 当点P在圆A上运动时, ?1? 求 QA ? QB 的值,并求动点Q的轨迹方程; ? 2 ? 设Q点的横坐标为x,纵坐标为y, 记PQ的长度为f ? x ?, 求函数f ? x ?的值域. 解析: ?由题知, ? QP , QB ?1 所以 QA ? QB ? QA ? QP ? AP ? 10. 又点A ? ?3, 0 ?,点B ? 3, 0 ?,所以 AB ? 6,且10>6, 则根据椭圆的定义知, 点Q的轨迹是以A,B为焦点,以10为长轴长的椭圆, 所以2a ? 10, 2c ? 6,所以b ? 4. x2 y 2 所以,动点Q的轨迹方程为 ? ? 1. 25 16 2 ?由 ?1? 知 PQ ? QB ,所以f ? x ? ? ? x ? 3?2 ? y 2 . ? x2 y 2 x2 又点Q的轨迹方程为 ? ? 1,所以y 2 ? 16(1 ? ). 25 16 25 将其代入f ? x ?, x2 得f ? x ? ? ? x ? 3? ? 16?1 ? ? 25 2 9 2 3 ? x ? 6 x ? 25 ?| 5 ? x | . 25 5 3 因为 ? 5 ? x ? 5,所以2 ? 5 ? x ? 8, 5 所以f ? x ?的值域为 ? 2,8?. 代入法求轨迹方程 1 2 例题3:如图,P是抛物线C:y ? x 上一点,直线l过 2 点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切 线垂直,求线段PQ的中点M 的轨迹方程. 解析: P ( x1,y1 )、Q ( x2,y2 )、M ( x0,y0 ). 设 依题意知x ? 0,y1 ? 0,y2 ? 0. 由y ? x 2,①得y? ? x. 所以过点P的切线的斜率k切 ? x1. 所以直线l的斜率kl ? ? 1 1 ?? . k切 x1 1 2 1 故直线l的方程为y ? x1 ? ? ? x ? x1 ?.② 2 x1 2 方法1:联立①②消去y,得x ? x ? x12 ? 2 ? 0. x1 2 因为M 为线段PQ的中点, x ?x 1 ? x0 ? 1 2 ? ? ? 2 x1 1 ? 所以 ? ,消去x1,得y0 ? x0 2 ? ? 1( x0 ? 0). 2 2 x0 ? y ? 1 x 2 ? 1 (x ? x ) ? 0 2 1 x1 0 1 ? 1 所以线段PQ的中点M 的轨迹方程为y ? x 2 ? 2 ? 1( x ? 0). 2x x ?x 1 1 方法2:由y1 ? x12,y2 ? x2 2,x0 ? 1 2 , 2 2 2 1 1 1 得y1 ? y2 ? x12 ? x2 2 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? x0 ? x1 ? x2 ?, 2 2 2 y ?y 1 1 则x0 ? 1 2 ? kl ? ? ,所以x1 ? ? . x1 ? x2 x1 x0 将上式代入②并整理,得y0 ? x0 2 ? 1 ? 1( x0 ? 0), 2 2 x0 1 ? 1( x ? 0). 2 2x 所以线段PQ的中点M 的轨迹方程为y ? x 2 ? 反思小结:欲求线段PQ的中点M 的轨迹方程,需知 P、Q的坐标.思路一,P、Q是直线l与抛物线C的 交点,故需求直线l的方程,再与抛物线C的方程联立, 利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程; 思路二,设出P、Q的坐标,利用P、Q的坐标满足 抛物线C的方程,代入抛物线C的方程相减得直线PQ 的斜率,利用直线PQ的斜率就是直线l的斜率, 可求得点M 的轨迹方程. 拓展练习:设一动直线过定点A ? 2, 0 ? 且与抛物线 y ? x 2 ? 2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影 | BP | | BB1 | 分别为B1、C1,P是线段BC上的点,且满足 ? . | PC | | CC1 | 求?POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 解析: B( x1,y1 ),C ( x2,y2 ),P( x0,y0 ),Q ( x,y ), 设 | BP | | BB1 | y1 则 ? ? ? ?, | PC | | CC1 | y2 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? 所以BP ? ? PC , BO ? OP ? ? ( PO ? OC ), ??? ??? ? ? ???? 即( ? ? )OP ? OB ? ? OC , 1 y1 y1 ? ?y2 y2 2 y1 y2 所以y0 ? ? . y1 y1 ? y2 1? y2 依题意设动直线的方程为y ? k ? x ? 2 ?. ? y ? x2 ? 2 由? ,得y 2 ? ? k 2 ? 4k ? y ? 6k 2 ? 0, ? y ? k ( x ? 2) 2?6k 2 12k 所以y0 ? 2 ? .① k ? 4k k ? 4 x0 ? 2 ? ?x ? 3 ? x0 ? 3 x ? 2 ? 由? ,得 ? ,代入②式, ? y0 ? 3 y ? y ? y0 ? 3 ? 得12 x ? 3 y ? 4 ? 0. 由? ? 0,得k ? 4 ? 2 6或k ? 4 ? 2 6. 又由①式知y0关于k 是减函数且y0 ? 12, 所以12 ? 4 6 ? y0 ? 12 ? 4 6, 4 6 4 6 则4 ? ? y ? 4? 且y ? 4. 3 3 所以Q点的轨迹为一线段(抠去一点), 4 6 4 6 其方程为12 x ? 3 y ? 4 ? 0(4 ? ? y ? 4? 且y ? 4). 3 3 参数法求轨迹方程 x2 y 2 例题4:2009? ( 安徽卷)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b 3 的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径 3 的圆与直线y ? x ? 2相切. ?1? 求a与b; ? 2 ? 设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,直线l1过F2且 与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P. 求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M 的轨迹方程, 并指明曲线类型. 3 c2 a 2 ? b2 1 b2 解析:1?由于e ? ,所以e 2 ? 2 ? ? ,所以 2 ? ? 2 3 a a 3 a 2 又b ? ? 2,所以b 2 ? 2,a 2 ? 3,因此,a ? 3,b ? 1?1 ? 2 ?由?1? 知F1,F2两点的坐标分别为? ?1, 0 ?, 0 ?. ?1, t 由题意可设P (1,t ),那么线段PF1的中点为N (0, ). 2 ???? ? ???? 设M ( x,y ).由于MN ? (? x, y ),F1 ? (?2, t ), ? P ? ? t ? ???? ???? MN ?PF1 ? 2 x ? t ( y ? ) ? 0 ? 则? ,消去参数t得y 2 ? ?4 x, 2 ?y ? t ? 即为点M 的轨迹方程,它表示抛物线. 2 . 3 2. 反思小结:本题是求动点的轨迹方程问题.当所求点与 已知点之间没有直接的依赖关系时,我们可能找出与它 们都有关系的中间元素,通过参数建立间接关系,最后 消去参数求得动点的轨迹方程.本题中动点M 与已知点 F1、F2之间的关系是通过动点P建立的,故在解题时先设 出动点P的坐标为(1,t ),再通过已知条件建立沟通t与点 M 的坐标x,y之间的关系的参数方程. 拓展练习:过抛物线y 2 ? 2px ? p ? 0?的顶点作相互垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹. 解析: 设直线OA的方程为y ? kx, 1 则直线OB的方程为y ? ? x, k 2p 2p 进而可求得A( 2 , ),B (2 pk 2, 2kp ). ? k k k k 2 ?1 于是直线AB的斜率为k AB ? ,从而kOM ? . 2 1? k k k 2 ?1 所以直线OM 的方程为y ? x.① k k 直线AB的方程为y

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